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\mathbf 3. \left\{ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. Dérivées partielles d'ordre supérieur Enoncé Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes: $f(x, y)=x^2(x+y)$. $f(x, y)=e^{xy}. $ Enoncé Pour $(x, y)\neq (0, 0)$, on pose $$f(x, y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. $$ $f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$? Equations aux dérivées partielles - Cours et exercices corrigés - Livre et ebook Mathématiques de Claire David - Dunod. $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$? Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si $$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ \forall t>0, \ f(tx, ty)=t^rf(x, y). $$ Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$. Montrer que $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si: $$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ x\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=rf(x, y).
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$ Intégrer cette équation pour en déduire l'expression de $f$. En déduire les solutions de l'équation initiale. Enoncé On souhaite déterminer les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, de classe $C^1$, et vérifiant: $$\forall (x, y, t)\in\mathbb R^3, \ f(x+t, y+t)=f(x, y). $$ Démontrer que, pour tout $(x, y)\in\mathbb R^2$, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=0. $$ On pose $u=x+y$, $v=x-y$ et $F(u, v)=f(x, y)$. Démontrer que $\frac{\partial F}{\partial u}=0$. Conclure. Enoncé Chercher toutes les fonctions $f$ de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$ vérifiant $$\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}=0. Derives partielles exercices corrigés dans. $$ Enoncé Soit $c\neq 0$. Chercher les solutions de classe $C^2$ de l'équation aux dérivées partielles suivantes $$c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}, $$ à l'aide d'un changement de variables de la forme $u=x+at$, $v=x+bt$. Enoncé Une fonction $f:U\to\mathbb R$ de classe $C^2$, définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.
$$ On suppose que $f$ est de classe $C^2$. Montrer que: $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=r(r-1)f(x, y). $$ Équations aux dérivées partielles Enoncé Etant données deux fonctions $g_0$ et $g_1$ d'une variable réelle, de classe $C^2$ sur $\mtr$, on définit la fonction $f$ sur $\mtr^*_+\times\mtr$ par $$f(x, y)=g_0\left(\frac{y}{x}\right)+xg_1\left(\frac{y}{x}\right). $$ Justifier que $f$ est de classe $C^2$, puis prouver que $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x, y)+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)=0. Derives partielles exercices corrigés du. $$ Enoncé On cherche toutes les fonctions $g:\mtr^2\to \mtr$ vérifiant: $$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}=a, $$ où $a$ est un réel. On pose $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par: $$f(u, v)=g\left(\frac{u+v}{2}, \frac{v-u}{2}\right). $$ En utilisant le théorème de composition, montrer que $\dis\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{a}{2}.
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$$ Dans toute la suite, on fixe $f$ une fonction harmonique. On suppose que $f$ est de classe $C^3$. Démontrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ sont harmoniques. Équations aux dérivées partielles exercice corrigé - YouTube. On suppose désormais que $f$ est définie sur $\mathbb R^2\backslash\{(0, 0)\}$ est radiale, c'est-à-dire qu'il existe $\varphi:\mathbb R^*\to\mathbb R$ de classe $C^2$ telle que $f(x, y)=\varphi(x^2+y^2)$. Démontrer que $\varphi'$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. En déduire toutes les fonctions harmoniques radiales.
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2. Caractéristiques du livre Suggestions personnaliséesDémontrer que $p=q$. Enoncé Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ différentiable. On suppose que, pour tout $\lambda\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb R^n$, $f(\lambda x)=\lambda f(x)$. Démontrer que $f(0)=0$. Démontrer que $f$ est linéaire. Exercices corrigés -Différentielles. Formules de Taylor Enoncé Soit $f:\mathcal U\to\mathbb R^p$ une application différentiable où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$. On suppose que $x\mapsto df_x$ est continue en $a$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, il existe $\eta>0$ tel que $$\|x-a\|<\eta\textrm{ et}\|y-a\|<\eta\implies \|f(y)-f(x)-df_a(y-x)\|\leq \veps \|y-x\|. $$