Théorème De Liouville
Décliner Faire correspondre Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (hamiltonien). For Liouville's equation in dynamical systems, see Liouville's theorem (Hamiltonian). WikiMatrix Mais la preuve du theoreme de Liouville repose sur la formule integrale de Cauchy. But the proof of Liouville's theorem rests on the Cauchy integral formula. Literature Déduire du théorème de Liouville sur les fonctions entières bornées que f est un polynôme. Deduce from Liou- j= 0 ville's theorem on bounded entire functions that f is a polynomial. Le deuxieme terme du second membre exprime la conservation de 1'energie ( theoreme de Liouville). The second term of the right-hand part expresses the conservation of energy ( the Liouville theorem). Une fonction entière (c'est-à-dire holomorphe dans le plan complexe tout entier) et bornée est nécessairement constante; c'est l'énoncé du théorème de Liouville. A bounded function that is holomorphic in the entire complex plane must be constant; this is Liouville's theorem.
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Théorème: Si $f$ est une fonction holomorphe et bornée sur $\mathbb C$, alors $f$ est constante. U ne des applications les plus classiques du théorème de Liouville est la démonstration du théorème de d'Alembert - tout polynôme sur $\mathbb C$ non constant admet une racine dans $\mathbb C$ - Soit en effet $P$ un tel polynôme et supposons que $P$ ne s'annule pas. On pose $f=1/P$. Puisque $P$ ne s'annule pas, $f$ est holomorphe sur $\mathbb C$; en outre, $f$ est bornée. En effet, si $|z|$ tend vers l'infini, il est clair que $|f(z)|$ tend vers 0, donc il existe $M$ tel que $f$ est bornée pour les $z$ avec $|z|>M$. D'autre part $f$ est bornée sur tout compact, en particulier sur l'ensemble des $z$ avec $|z|\leq M$. Il en résulte, d'après le théorème de Liouville, que $f$ est constante, ce qui est absurde! Ce théorème est en fait dû à Cauchy en 1844, mais le mathématicien allemand Berchardt (qui succède à Crelle en 1855 à la tête du célèbre journal qui porte son nom) en prend connaissance lors d'un exposé de Liouville et le lui attribue.
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Pages pour les contributeurs déconnectés en savoir plus Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en algèbre différentielle (en), le théorème de Liouville, formulé par Joseph Liouville dans une série de travaux concernant les fonctions élémentaires entre 1833 et 1841, et généralisé sous sa forme actuelle par Maxwell Rosenlicht en 1968, donne des conditions pour qu'une primitive puisse être exprimée comme combinaison de fonctions élémentaires, et montre en particulier que de nombreuses primitives de fonctions usuelles, telle que la fonction d'erreur, qui est une primitive de e − x 2, ne peuvent s'exprimer ainsi. Un corps différentiel est un corps commutatif K, muni d'une dérivation, c'est-à-dire d'une application de K dans K, additive (telle que), et vérifiant la « règle du produit »: Si K est un corps différentiel, le noyau de, à savoir est appelé le corps des constantes, et noté Con( K); c'est un sous-corps de K. Étant donnés deux corps différentiels F et G, on dit que G est une extension logarithmique de F si G est une extension transcendante simple de F, c'est-à-dire que G = F ( t) pour un élément transcendant t, et s'il existe un s de F tel que.
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Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique). Canonical transformations are useful in their own right, and also form the basis for the Hamilton–Jacobi equations (a useful method for calculating conserved quantities) and Liouville's theorem (itself the basis for classical statistical mechanics). Ainsi, le groupe de Galois différentiel d'une primitive ne contient pas assez d'information pour déterminer si elle peut ou non s'exprimer en fonctions élémentaires, ce qui constitue l'essentiel du théorème de Liouville. Thus, an antiderivative's differential Galois group does not encode enough information to determine if it can be expressed using elementary functions, the major condition of Liouville's theorem. Théorème de Liouville (système dynamique) Theorem of Liouville (dynamic system) ParaCrawl Corpus D'après un théorème de Liouville [voir, par exemple, J.
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Fonctions elliptiques [ modifier | modifier le code] Il est aussi utilisé pour établir qu'une fonction elliptique sans pôles est forcément constante; c'est d'ailleurs cela que Liouville avait primitivement établi. Notes et références [ modifier | modifier le code] ↑ Boris Chabat, Introduction à l'analyse complexe, Tome I Fonctions d'une variable, 1990, Éditions Mir, p. 104. ↑ Voir par exemple la preuve donnée dans Rudin, p. 254, quelque peu différente. Portail de l'analyse