Produit Scalaire Canonique
On pose, pour $f, g\in E$, $$\phi(f, g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n). $$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$. Inégalité de Cauchy-Schwarz Enoncé Soit $x, y, z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}. $ Enoncé Soient $x_1, \dots, x_n\in\mathbb R$. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1, \dots, n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ Enoncé Étudier la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$. Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) : exercice de mathématiques de maths sup - 495218. Enoncé Soit $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R_+^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte? Norme Enoncé Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x, y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in]0, 1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Produit Scalaire Canonique Francais
Enoncé Soit $a$ et $b$ des réels et $\varphi:\mathbb R^2\to \mathbb R$ définie par $$\varphi\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=x_1y_1+4x_1y_2+bx_2y_1+ax_2y_2. $$ Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels $a$ et $b$ pour que $\varphi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$. Enoncé Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $a\in E$ un vecteur unitaire et $k\in\mathbb R$. Produit scalaire canonique un. On définit $\phi:E\times E\to\mathbb R$ par $$\phi(x, y)=\langle x, y\rangle+k\langle x, a\rangle\langle y, a\rangle. $$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $\phi$ soit un produit scalaire. Enoncé Soient $a, b, c, d\in\mathbb R$. Pour $u=(x, y)$ et $v=(x', y')$, on pose $$\phi(u, v)=axx'+bxy'+cx'y+dyy'. $$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a, b, c, d$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$. Enoncé Soit $E=\mathcal C([0, 1])$ l'ensemble des fonctions continues de $[0, 1]$ dans $\mathbb R$, et soit $a=(a_n)$ une suite de $[0, 1]$.
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